Chứng minh các hàm số sau đây không tuần hoàn:

Question

Chứng minh các hàm số sau đây không tuần hoàn:
a)

$y=\cos x+ 2\cos (x\sqrt{3} )$
b)

$y=\cos(x^2)$
c)

$y=\tan \sqrt{x}$

score 2 · Answer 1

a, Hàm số

$\cos x$ có chu kì

$2\pi$ .
Hàm số

$\cos(x\sqrt3)$ có chu kì

$\frac{2\pi}{\sqrt3}$ .
Nhận thấy

$\not\exists k,l\in \mathbb{Z}$ sao cho

$k.2\pi=l.\frac{2\pi}{\sqrt3}$ , nên hàm số

$y=\cos x+2\cos(x\sqrt3)$ không tuần hoàn.
b, Giả sử hàm số

$y=\cos x^2$ tuần hoàn, hay

$\exists T>0$ sao cho:

$\cos (x+T)^2=\cos x^2,\forall x\in\mathbb{R}$ .
Thay

$x=0$ , ta được

$\cos T^2=1$ suy ra

$T^2=k2\pi,k\in\mathbb{Z}^+$ .
Từ đó:

$\cos(x+2\sqrt{k2\pi}+k2\pi)=\cos x, \forall x\in\mathbb{R}$

$\Rightarrow 2\sqrt{k2\pi}=l2\pi, l\in\mathbb{Z}\Rightarrow 2k=l^2\pi$ , vô lý.
Vậy hàm

$y=\cos x^2$ không tuần hoàn.
c, Giả sử hàm số

$y=\tan\sqrt x$ tuần hoàn, hay

$\exists T>0$ sao cho:

$\tan\sqrt{x+T}=\tan\sqrt x,\forall x\ge 0$
Thay

$x=0$ , ta được

$\tan\sqrt T=0$ , suy ra

$\sqrt T=k\pi,k\in\mathbb{Z}^+$ .
Thay

$x=\pi^2$ , ta được

$\tan\sqrt{\pi^2+T}=0$ , suy ra

$\sqrt{\pi^2+T}=l\pi,l\in\mathbb{Z}^+$ .
Từ đó:

$\pi^2+k^2\pi^2=l^2\pi^2\Rightarrow 1+k^2=l^2\Rightarrow k=0,l=1$ , vô lý.
Vậy hàm

$y=\tan\sqrt x$ không tuần hoàn.

1 Đáp án