|
|
Đặt t =$\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}$ >0 Suy ra $t^{2}$=2+2$\sqrt{(x-1)(3-x)}$ Vì thế t $\geq $$\sqrt{2}$
Mặt khác theo Bunhicopxki:
t$\leq $$\sqrt{(1+1)(x-1+3-x)}$=2
Phương trình trở về:
t+$\frac{2-t^{2}}{2}=m$
$\Leftrightarrow -t^{2}+2t+2=2m$
$\Leftrightarrow t^{2}-2t-2=-2m$
Phương trình có nghiệm khi t có nghiệm thuộc [$\sqrt{2};2]$
Xét hàm số: f(t)=$\ t^{2}-2t-2$
Đạo hàm f '(t)=2t-2
Suy ra f '(t)=0 khi t=1 < $\sqrt{2}$
Hàm số đồng biến trên: [$\sqrt{2};2]$
Hiển nhiên: $\left\{ \begin{array}{l} Minf(t)=f(\sqrt{2})=-2\sqrt{2}\\Maxf(t)=f(2)=-2 \end{array} \right.$
Suy ra -2$\sqrt{2}\leq -2m \leq -2$
$\Leftrightarrow 1 \leq m \leq $ $\sqrt{2}$
Vậy phương trình có nghiệm khi $m\in [1;\sqrt{2}]$ và vô nghiệm khi $m\in $R\$ [1;\sqrt{2}]$
|