ức chế với khúc này quá mong các bạn giúp mình với lâu rồi k nhớ

Question

$\int\limits_{1/2}^{1}$ $\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} dx$
không hiểu khúc này ai giải thích giùm với
$\begin{cases}\sqrt{1+x}= \sqrt{2}sint\\ \sqrt{1-x}=\sqrt{2 }cost \end{cases} $
làm ơn giải thích giúp mình tại sao phải đặt $\sqrt{2}$ vậy từ bước đó thay thế vô phân thức là giải ra rồi chỉ có chỗ $\sqrt{2}$ là k hiểu thôi

tương đương 1 x=2sin^2t;1-x=2cos^2t cộng lại nhau dc sin^2t cos^2t=1 (đúng)

Trần Nhật Tân · Answer 1 · 3/15/2013 12:39:50 PM

Mình rất thích cách đặt câu hỏi của bạn bởi vì bạn trình bày những việc mà bạn đã giải quyết được, chúng ta sẽ cùng thảo luận các bước nhỏ mà bạn thấy chưa rõ ràng. Như vậy sẽ dễ dàng hơn cho cả người hỏi và người trả lời, không nên giao tất cả việc nghĩ ra ý tưởng và trình bày cho các admin.

Trước hết thấy rằng để tích phân được định nghĩa thì điều kiện là
$\begin{cases}(1-x)(1+x) \ge 0 \\ x \ne -1 \end{cases}\Leftrightarrow-1 < x \le 1 $.
Điều kiện này giúp ta nghĩ đến việc đặt $x$ theo hàm sin hoặc cos, nhưng để phục vụ cho việc biến đổi các thành phần chứa $1+x, 1-x$ thì ta sẽ chọn đặt $x= \cos 2\alpha, \alpha \in [0, \dfrac{\pi}{2})$.
Như vậy
$$\begin{cases}\sqrt{1+x}=\sqrt{1+\cos 2\alpha }=\sqrt2 \cos \alpha \\ \sqrt{1-x}=\sqrt{1-\cos 2\alpha }=\sqrt2 \sin \alpha \end{cases}$$
ta có điều này vì chú ý rằng $\alpha \in [0, \dfrac{\pi}{2})$ nên $ \sin \alpha, \cos \alpha\ge0$.

Hãy ấn chữ V dưới chữ đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Các bài tiếp theo mình sẽ sẵn sàng giúp đỡ bạn. Thanks!