Đặt $z=a+bi$ Khi đó$z+3\overline{z}=a+bi+3a-3bi=4a-2bi $
$(2+i\sqrt3)|z|=2\sqrt{a^2+b^2}+i\sqrt3.\sqrt{a^2+b^2}$
So sánh phần thực và phần ảo
$\begin{cases}4a=2\sqrt{a^2+b^2} \\ -2b=\sqrt{3(a^2+b^2)} \end{cases}$
$\Rightarrow 3a^2=b^2 , a\ge 0 , b\le 0$
$\Rightarrow b=-\sqrt3a$
$z$ thuộc đường thẳng $d: y=-\sqrt3x$ với $x\ge0$ nghĩa là phần đường thẳng ở góc phần tư thứ IV