Gợi ý:
+ Xét $z=2$, HPT
$\begin{cases}x+y=0 \\ x^{2}+y^{2}=2 \\x^{3}+y^{3}=0\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x+y=0 \\ x^{2}+y^{2}=2 \end{cases}\Rightarrow (x,y)=(-1,1),(1,-1).$
+ Xét $z \ne 0$, HPT
$\begin{cases}(x+y)^2=(2-z)^2 \\ x^{2}+y^{2}=6-z^2 \\(x+y)(x^2+y^2-xy)=8-z^3\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x+y=2-z\\ xy=\dfrac{(2-z)^2-(6-z^2)}{2} \\(x+y)(x^2+y^2-xy)=8-z^3 \qquad (1)\end{cases}$.
Như vậy
$(1)\Leftrightarrow (2-z)\left ( 6-z^2- \frac{(2-z)^2-(6-z^2)}{2} \right )=8-z^3$
$\Leftrightarrow (z-2)(z-1)(z+1)=0$.
Tìm ra $z$ và thay vào hệ ta dễ giải được $x$ và $y$.