Nhắc lại về một số khái niệm:
Lớp 11: Dãy số sau đây là cấp số nhân gồm vô hạn số: 1,x,x2,x3,…,xn,…
Công thức của tổng n số hạng trong dãy trên
Sn=1+x+⋯+xn=n∑i=0xi=1−xn+11−x.
Đặt biệt khi |x|<1 thì lim. Do đó ta xây dựng được khái niệm chuỗi
\sum_{i=0}^{+\infty}x^i=\lim_{n \to +\infty} S_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{1-x^{n+1}}{1-x}=\frac{1-0}{1-x}=\frac{1}{1-x}.
Toán cao cấp: Tóm lại \sum_{i=0}^{+\infty}x^i = \frac{1}{1-x} với |x|<1.
Áp dụng trong bài toán này
\sum_{i=3}^{+\infty}\left ( \frac{1}{2} \right )^i = \sum_{i=0}^{+\infty}\left ( \frac{1}{2} \right )^i - \left ( \frac{1}{2} \right )^2-\left ( \frac{1}{2} \right )^1-\left ( \frac{1}{2} \right )^0 = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} - \frac{1}{4}-\frac{1}{2}-1=\frac14.