Đặt $x=\log_ab,y=\log_bc,z=\log_ca \implies xyz=1$ và $x,y,z>0.$
Suy ra
$\log _{bc}a=\frac{1}{\log_abc}=\frac{1}{\log_ab+\log_ac}=\frac{1}{x+\frac{1}{z}}=\frac{z}{x+z}$.Tương tự như vậy ta có thêm 2 đẳng thức nữa và bây giờ BĐT cần chứng minh
$\iff \frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+x}+\frac{z}{z+y} \ge\frac32$, đây là BĐT Nesbit quen thuộc.