Gọi $AB=c,\ AC=b,\ BC=a, \ OA=x,\ OB=y,\ OC=z$
Dễ dàng có $x^2+y^2=c^2;\ y^2 +z^2 =a^2;\ z^2 + x^2 =y^2$
Nhìn hình tự chứng minh các góc $\alpha ...$ như thế nha
Ta có $\dfrac{1}{OM^2}=\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2} \Rightarrow OM=\dfrac{yz}{\sqrt{y^2 +z^2}}$
$AM^2 =OA^2 +OM^2 = x^2 +\dfrac{y^2 z^2 }{y^2 +z^2}=\dfrac{x^2 y^2 + y^2 z^2 + z^2 x^2}{y^2 +z^2}$
Tự Chứng minh tam giác $OAM$ vuông tại $O$, khi đó ta có
$\cos \alpha = \dfrac{OM}{AM}= \dfrac{yz}{\sqrt{x^2 y^2 + y^2 z^2 + z^2 x^2}}$
Tương tự $\cos \beta = \dfrac{xz}{\sqrt{x^2 y^2 + y^2 z^2 + z^2 x^2}}$
$\cos \gamma =\dfrac{xy}{\sqrt{x^2 y^2 + y^2 z^2 + z^2 x^2}}$
Khi đó $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma =\dfrac{xy +yz+zx}{\sqrt{x^2 y^2 + y^2 z^2 + z^2 x^2}} \le^{3 con soi} \dfrac{\sqrt{3(x^2 y^2 + y^2 z^2 + z^2 x^2})}{\sqrt{x^2 y^2 + y^2 z^2 + z^2 x^2}}=\sqrt 3$