$\frac{a+bc}{b+c} + \frac{b+ca}{c+a} + \frac{c+ab}{a+b}$
$=\frac{a(a+b+c)+bc}{b+c} + \frac{b(a+b+c)+ca}{c+a} + \frac{c(a+b+c)+ab}{a+b}$
$=\frac{(a+b)(a+c)}{b+c} + \frac{(b+c)(b+a)}{c+a} + \frac{(c+a)(c+b)}{a+b} $
$=\sum \frac12(a+b)\left ( \frac{a+c}{b+c} + \frac{b+c}{c+a} \right )$
$\ge \sum \frac12(a+b).2 =2(a+b+c)=2.$