Tương giao đồ thị hàm số.

Question

Tìm

$m$ để

$y=-x^3+3x^2-2\,\,(C)$ cắt

$(d):y=m\left(2-x\right)+2$ tại ba điểm

$A,\,B,\,C$ phân biệt sao cho

$k_Bk_C\,\text{min},$ với

$x_A=2,\,k_B,\,k_C$ lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến tại

$B,\,C$

score 1 · Answer 1

Tôi làm qua thôi nha, tự hoàn thiện bài toán

Thứ 2 theo tôi đề sai rồi,

$y=-x^3 +3x^2 -4$ mới đúng. Khi đó làm như sau

TXĐ

$D=R$

$y'=-3x^2 +6x$

Xét pt hoành độ giao điể của

$(C)$ với

$(d)$

$-x^3 +3x^2 -4 =-mx +2m$

$\Leftrightarrow (x-2)[x^2-x-(m+2)]=0$

Để

$(d) \cap (C)$ tại 3 điểm phân biệt

$A, B, C$ thì pt

$g(x)=x^2-x-m-2 = 0$

phải có 2 nghiệm phân biệt

$x_B,\ x_C \ne 2$ trong đó

$x_A=2$ theo giả thiết

Điều kiện có 2 nghiệm phân biệt

$\ne 2$ là

$\begin{cases} \Delta = 1+4(m+2) >0 \\ g(2) = 4 -2-m-2 \ne 0 \end{cases} \ (*)$ tự giải

Theo yêu cầu bài toán

$k_B. k_C$ min trong đó

$k_b=-3x_B^2 +6x_B;\ k_C =-3x_C^2 +6x_c$

$k_B . k_C = (-3x_B^2 +6x_B)(-3x_C^2 +6x_C)=9 (x_B . x_C )^2-18(x_B + x_C) + 36 x_B. x_C$

Theo Viet ta có

$x_B + x_C = 1;\ x_B . x_C = -m-2$ thay vào ta được

$k_B. k_C = 9(m+2)^2 -18-36(m+2)=9m^2 - 54 \ge -54$

Vậy

$\min k_B .k_C=-54$ khi

$m=0$ không thỏa mãn điều kiện

$(*)$

1 Đáp án