Ta xét: $1=tan\frac{\pi}{4}=tan2.\frac{\pi}{8}=\frac{2tan\frac{\pi}{8}}{1-tan^2\frac{\pi}{8}}\Rightarrow tan\frac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1$Từ đó ta viết lại: $u_{n+1}=\frac{u_{n}+tan\frac{\pi}{8}}{1-u_{n}.tan\frac{\pi}{8}} (12345678910)$
Theo nguyên lý quy nạp, từ $(12345678910)$ và $u_1=\sqrt{3}=tan\frac{\pi}{3}$
$\Rightarrow u_n=tan[\frac{\pi}{3}+(n-1)\frac{\pi}{8}]$
Vậy $u_{2014}=tan(\frac{\pi}{3}+2013\frac{\pi}{8})=tan(\frac{\pi}{3}-\frac{3\pi}{8})$