Hệ phương trình

Question

$\begin{cases}x^5 +y^5+z^5=3 \\ x^6+y^6+z^6=3 \end{cases}$

tran85295 · Answer 1 · 5/10/2016 9:51:13 AM

Áp dụng bdt

$AM-GM$ cho 6 số :

$\frac 13+\frac{5x^6}{x^6+y^6+z^6} \ge \frac{6x^5}{\sqrt[6]{3(x^6+y^6+z^6)^5}}$

Tương tự ta có:

$\frac 13+\frac{5y^6}{x^6+y^6+z^6} \ge \frac{6y^5}{\sqrt[6]{(x^6+y^6+z^6)^5}}$

$\qquad \qquad\qquad \frac 13+\frac{5z^6}{x^6+y^6+z^6} \ge \frac{6z^5}{\sqrt[6]{(x^6+y^6+z^6)^5}}$

Cộng 3 vế bdt trên

$\Rightarrow 1+5 \ge \frac{6(x^5+y^5+z^5)}{\sqrt[6]{3(x^6+y^6+z^6)^5}}\Leftrightarrow 3(x^6+y^6+z^6)^5 \ge (x^5+y^5+z^5)^6$

Mà

$x^5+y^5+z^5=x^6+y^6+z^6=3$ nên dấu bằng xảy ra

Dấu bằng xảy ra của bđt là

$x=y=z=1$

Và đó cũng là nghiệm của hệ phương trình

Sửa 10-05-16 09:51 AM

tran85295
141 5

10M 559K

Trả lời 10-05-16 09:30 AM

tran85295
141 5

10M 559K

1 Đáp án