đề thi hsg(4)

Question

1, Cho hệ phương trình:
$ax+by=c$
và $bx+cy=a$
và $cx+ay=b$
($a,b,c$ là tham số)
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hệ phương trình trên có nghiệm là: $a^3+b^3+c^3=3abc$

2, Cho $x>0,y>0$ và $x+y=1$. CMR: $8(x^4+y^4)+\frac{1}{xy}\geq5$

3,Giải hệ phương trình:
$x^2+\frac{1}{y^2}+\frac{x}{y}=3$
và $x+\frac{1}{y}+\frac{x}{y}=3$

4, Giải phương trình: $\sqrt{25-x^2}-\sqrt{10-x^2}=3$

Tonny_Mon_97 · Answer 1 · 8/26/2014 9:48:15 PM

Giả sử HPT đã cho có nghiệm $(x;y)$ . Khi đó

$a^3+b^3+c^3=a.a^2+b.b^2+c.c^2$

$=(bx+cy)a^2+(cx+ay)b^2+(ax+by)c^2=(a^2bx+ab^2y)+(ac^2x+ca^2y)+(b^2cx+bc^2y)$

$=ab(ax+by)+ca(cx+ay)+bc(bx+cy)=abc+cab+bca=3abc$

Giả sử $a^3+b^3+c^3=3abc$

$\Leftrightarrow (a+b)^3+c^3-3ab(a+b)-3abc=0$

$\Leftrightarrow (a+b+c)\left[ {(a+b)^2-c(a+b)+c^2} \right]-3ab(a+b+c)=0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}(a+b+c)\left[ {(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2} \right]=0$

$\left[ {} \right.\begin{matrix} a+b+c=0\\ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0 \end{matrix}\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} a+b+c=0\\ a=b=c \end{matrix}} \right.$

$* a+b+c=0$ nhân thấy HPT có nghiệm $x=y=-1$

$*a=b=c, $ nhận thấy HPT có nghiệm $x=0,y=1$( hoặc $x=1,y=0$)

Vậy nếu $a^3+b^3+c^3=3abc$ thì HPT đã cho có nghiệm