2, Hệ $\Leftrightarrow \begin{cases}x+y=5-z\\ xy+(x+y)z=8 \end{cases}$Đặt $\begin{cases}x+y=u \\ xy=v \end{cases}\Rightarrow x,y$ là nghiệm của pt: $t^2-ut+v=0 (a)$
Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow u^2-4v\geq 0 (*)$
Ta có hệ :$\begin{cases}u=5-z (1)\\ v+zu=8 (2)\end{cases}$. Thế $(1)$ vào $(2)\Rightarrow v=8-z(5-z)=z^2-5z+8$
Hệ có nghiệm $\Leftrightarrow (a)$ có nghiệm $\Leftrightarrow (*)$ xảy ra
$\Rightarrow (5-z)^2-4(z^2-5z+8)\geq 0\Leftrightarrow -3z^2+10z-7\geq 0$
$\Leftrightarrow (z-1)(-3z+7)\geq 0\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \begin{cases}z-1\geq 0\\ 7-3z\geq 0\end{cases}\\ \begin{cases}z-1\leq 0\\ 7-3z\leq 0\end{cases} \end{matrix}} \right.\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} 1\leq z\leq \frac{7}{3}(3)\\\begin{cases}z\leq 1\\ z\geq \frac{7}{3} (VN)\end{cases} \end{matrix}} \right.$
Từ $(3)$ và do z nguyên nên $\Rightarrow z=1;2$
$*z=1\Rightarrow \begin{cases}u=4 \\ v=4 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x+y=4 \\ xy=4 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x=2 \\ y= 2\end{cases}$
$*z=2\Rightarrow \begin{cases}u=3 \\ v=2\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x+y=3 \\ xy=2 \end{cases}\Rightarrow \left[ {\begin{matrix} \begin{cases}x=1 \\ y=2 \end{cases}\\\begin{cases}x=2 \\ y=1 \end{cases} \end{matrix}} \right.$
Vậy hẹ pt có 3 nghiệm nguyênlà $(2;2;1),(1;2;2),(2;1;2)$