Đặt $x+1=my\quad (1)$ và $y+1=nx\quad (2)$
Từ $(2)\Rightarrow y=nx-1$. Thế vào $1$ ta được $x+1=m(nx-1)\Leftrightarrow (mn-1)x=1+m$ hay $x=\dfrac{1+m}{mn-1}$
Do $x$ là nguyên dương nên $x\geq 1$. Do đó $1+m\geq mn-1\Leftrightarrow m(n-1)\leq 2$
Do $m,n$ cũng là nguyên dương nên xảy ra hai trường hợp:
TH1: $m(n-1)=2$. Khi đó $m=2;n=2$ hoặc $m=1;n=3$. Khi đó ta có $x,y$ tương ứng là $x=1;y=1$ hoặc $x=1;y=2$.
TH2: $m(n-1)=1$. Khi đó $m=1; n=2$. Với trường hợp này không tồn tại $x;y$ thỏa mãn $\begin{cases}x+1=y \\ y+1=2x\end{cases}$
Vậy có hai cặp số thỏa mãn bài toán là $(1;1)$ và $(1;2)$