Điều kiện: $\begin{cases}2x-1\neq 0 \\ 3x+1\neq 0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x\neq \dfrac{1}{2}\\ x\neq -\dfrac{1}{3}\end{cases}$
$2^{\frac{1}{|2x-1|}}\geq 2^{\frac{1}{3x+1}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{|2x-1|}\geq \dfrac{1}{3x+1}\qquad (1)$
{\bf *}Với $x< -\dfrac{1}{3}$ thì $\dfrac{1}{3x+1}<0$ nên $(1)$ đúng.
{\bf *} Với $-\dfrac{1}{3}<x<\dfrac{1}{2}$ thì $(1)\Leftrightarrow \dfrac{1}{1-2x}\geq \dfrac{1}{3x+1}$
$\Leftrightarrow 3x+1\geq 1-2x\Leftrightarrow x\geq 0\Rightarrow 0\leq x<\dfrac{1}{2}$
{\bf *}Với $x>\dfrac{1}{2}$ thì $(1)\Leftrightarrow \dfrac{1}{2x-1}\geq \dfrac{1}{3x+1}$
$\Leftrightarrow 3x+1\geq 2x-1\Leftrightarrow x\geq -2\Rightarrow x>\dfrac{1}{2}$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $\left( -\infty ;-\dfrac{1}{3}\right) \cup \left[ 0;\dfrac{1}{2}\right) \cup \left(\dfrac{1}{2};+\infty \right)$