theo mình 2 bài này phải áp dụng bđt |$a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}|$$\leq $$|a_{1}|+|a_{2}|+|a_{3}|+...+|a_{n}|$.
câu 1:
$u_{n}\leq |u_{n}|=|\frac{cos1}{1.2}+\frac{cos2}{2.3}+...+\frac{cosn}{n(n+1)}|\leq |\frac{cos1}{1.2}|+|\frac{cos2}{2.3}|+...+|\frac{cosn}{n(n+1)}|\\$
$\leq \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n(n+1)}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}\\<1\rightarrow u_{n}<1$
câu 2:
bằng phương pháp quy nạp ta cm được $\frac{1}{(n-2)(n-1)n}=\frac{1}{2}\left[ \frac{1}{(n-2)(n-1)}-\frac{1}{(n-1)n} {} \right]$ với n$\geq 3\in N$
tương tự câu 1,$u_{n}\leq |u_{n}|\leq \frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+...+\frac{1}{(n-2)(n-1)n}$
$=\frac{1}{2}\left[ \frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{(n-2)(n-1)}-\frac{1}{(n-1)n}{} \right]$
$=\frac{1}{2}\left[ \frac{1}{2}-\frac{1}{(n-1)n}{} \right]$
$=\frac{1}{4}-\frac{1}{2(n-1)n}<\frac{1}{4}\rightarrow u_{n}<\frac{1}{4}$.
mong bạn đọc cho ý kiến!!!