Ta có $k.C^{k}_{n}=k.\frac{n!}{k!(n-k)!}=n.\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}=n.C^{k-1}_{n-1} (1)$Áp dụng $(1)$, cho $k$ chạy từ $1$ đến $n$ ta được :
$VT = n(C^{0}_{n-1}C^{1}_{n}+C^{1}_{n-1}C^{2}_{n}+......+C^{n-1}_{n-1}C^{n}_{n})$
Ta xét khai triển:
+ $(1+x)^{n-1}=\sum_{i=0}^{n-1}C^{i}_{n-1}.x^{i}$
+$ (1+x)^{n}=\sum_{j=0}^{n} C^{j}_{n}.x^{j}$
$\Rightarrow (1+x)^{2n-1}=\sum_{n-1}^{i=0} \sum_{n}^{j=0} C^{i}_{n-1}.C^{j}_{n}.x^{i+j} $
LẠi có $(1+x)^{2n-1}=\sum_{k=0}^{2n-1}C^{k}_{2n-1}.x^{k} $
ĐỒng nhất hệ số của $x^{n-1} $ ta được : $C^{0}_{n-1}C^{n-1}_{n}+C^{1}_{n-1}C^{n-2}_{n}+.....+C^{n-1}_{n-1}C^{0}_{n}=C^{n-1}_{2n-1}$
$ \Leftrightarrow VT=n(C^{0}_{n-1}C^{n-1}_{n}+C^{1}_{n-1}C^{n-2}_{n}+.......+C^{n-1}_{n-1}C^{0}_{n})=n.C^{n-1}_{2n-1}$(đpcm)