Ta có k.Ckn=k.n!k!(n−k)!=n.(n−1)!(k−1)!(n−k)!=n.Ck−1n−1(1)Áp dụng (1), cho k chạy từ 1 đến n ta được :
VT=n(C0n−1C1n+C1n−1C2n+......+Cn−1n−1Cnn)
Ta xét khai triển:
+ (1+x)n−1=n−1∑i=0Cin−1.xi
+(1+x)n=n∑j=0Cjn.xj
⇒(1+x)2n−1=i=0∑n−1j=0∑nCin−1.Cjn.xi+j
LẠi có (1+x)2n−1=2n−1∑k=0Ck2n−1.xk
ĐỒng nhất hệ số của xn−1 ta được : C0n−1Cn−1n+C1n−1Cn−2n+.....+Cn−1n−1C0n=Cn−12n−1
⇔VT=n(C0n−1Cn−1n+C1n−1Cn−2n+.......+Cn−1n−1C0n)=n.Cn−12n−1(đpcm)