$\left\{ \begin{array}{l} x^{3}-3x^{2}-9x+22=y^{3}+3y^{2}-9y.(1)\\ x^{2}+y^{2}-x+y=\frac{1}{2}.(2) \end{array} \right.$ Xét PT $(2)$ của hệ, để hệ có nghiệm thì:
$\Delta _x=1^2-4(y^2+y-\frac{1}{2}) \ge 0\Leftrightarrow 4y^2+4y-3 \le 0\Leftrightarrow -\frac{3}{2} \le y \le \frac{1}{2}.$
$\Delta _y=1^2-4(x^2-x-\frac{1}{2}) \ge 0\Leftrightarrow 4x^2-4x-3 \le 0\Leftrightarrow -\frac{1}{2} \le x \le \frac{3}{2}.$
$(1)\Leftrightarrow (x-1)^3-12(x-1)=(y+1)^3-12(y+1)$ $(1')$
Xét $f(t)=t^3-12t,t \in [-\frac{3}{2};\frac{3}{2}]$, dễ thấy $f(t)$ nghịch biến $\forall t \in [-\frac{3}{2};\frac{3}{2}]$. Do đó:
$(1')\Leftrightarrow x-1=y+1\Leftrightarrow x=y+2.$
Thay $x=y+2$ vào PT $(2)$ của hệ là Ok..