tam giác đều 2

Question

Cho tam giác ABC có

$\frac{a.cosA+b.cosB+c.cosC}{a.sinB+b.sinC+c.sinA}=\frac{2P}{9R}$
CMR tam giác ABC đều

๖ۣۜDevilღ · Answer 1 · 10/12/2015 9:18:04 PM

Thế

$a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC$ và

$2p=a+b+c$ ta được

$\frac{2R\left ( sinAcosA+sinBcosB+sinCcosC \right )}{2R\left ( sin^2A+sin^2B+sin^2C \right )}=\frac{a+b+c}{9R}$

$\Leftrightarrow \frac{sin2A+sin2B+sin2C}{sin^2A+sin^2B+sin^2C}=\frac{4\left ( sinA+sinB+sinC \right )}{9}$

biến đổi $sin2A+sin2B+sin2C=2sin(A+B)cos(A-B)+2sinCcosC=2sinC[cos(A-B)-cos(A+B)]=4sinAsinBsinC$

$9sinAsinBsinC=(sin^2A+sin^2B+sin^2C)(sinA+sinB+sinC\geq 9\sqrt[3]{sin^3Asin^3B.sin^3C}$

$\Leftrightarrow sinA=sinB=sinC$

$\Leftrightarrow a=b=c$

Sửa 12-10-15 09:18 PM

๖ۣۜDevilღ
1

10M 539K

Trả lời 12-10-15 08:56 PM

๖ۣۜDevilღ
1

10M 539K

1 Đáp án