Toán 10

Question

Tìm m và n biết rằng:

$\frac{x_2}{x_1} = \frac{x_3}{x_2} = \frac{x_4}{x_3}$ trong đó x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình

$x^{2} - 3x + m = 0$ còn

$x_3$ và

$x_4$ là hai nghiệm của phương trình

$x^{2} - 12x+n = 0$

tran85295 · Answer 1 · 11/17/2015 8:47:10 PM

Ko mất tính tổng quát, giả sử

$x_2 \ge x_1$

Ta có :

$\frac{x_4}{x_3}=\frac{x_3}{x_2}=\frac{x_2}{x_1} \ge 1$

$\Rightarrow x_4 \ge x_3 \ge x_2 \ge x_1$

Phương trình

$x^2-3x+m=0$ có

$2$ nghiệm

$x_2 \ge x_1 \hspace{1mm} \text{là} \hspace{1mm} x_2=\frac{3+\sqrt{\Delta_1}}{2};x_2=\frac{3-\sqrt{\Delta_1}}{2}$ với

$\Delta_1=9-4m \ge 0$ hay

$m \le \frac{9}{4}$

Phương trình

$x^2-12x+n$ có

$2$ nghiệm

$x_4 \ge x_3 \hspace{1mm} \text{là} \hspace{1mm} x_4=6+\sqrt{\Delta_2};x_3=6-\sqrt{\Delta_2}$ với đk

$\Delta_2=36-n \ge 0$ hay

$n \le 36$

$* \frac{x_2}{x_1}=\frac{x_4}{x_3}\Rightarrow \frac{3+\sqrt{\Delta_1}}{3-\sqrt{\Delta_1}}=\frac{6+\sqrt{\Delta_2}}{6-\sqrt{\Delta_2}}$

Nhân chéo rút gọn đc

$2\sqrt{\Delta_1}=\sqrt{\Delta_2}(1)$

$* \frac{x_2}{x_1}=\frac{x_3}{x_2}\Rightarrow x_2^2=x_1x_3\Rightarrow (\frac{3+\sqrt{\Delta_1}}{2})^2=(\frac{3-\sqrt{\Delta_1}}{2})(6-\sqrt{\Delta_2}) (2)$

Thế

$(1)$ vào

$(2)$ , ta có

$(\frac{3+\sqrt{\Delta_1}}{2})^2=(\frac{3-\sqrt{\Delta_1}}{2})(6-2\sqrt{\Delta_1})$

$\Rightarrow (\frac{3+\sqrt{\Delta_1}}{2})^2=(3-\sqrt{\Delta_1})^2$

$\Rightarrow 3+\sqrt{\Delta_1} =2(3-\sqrt{\Delta_1})\Rightarrow \sqrt{\Delta_1}=1\Rightarrow \Delta_1=1$

$\Rightarrow \sqrt{\Delta_2}=2\Rightarrow \Delta_2 =4$

Ta có

$\begin{cases} \Delta_1=1 \\ \Delta_2= 4\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}9-4m=1 \\ 36-n=4 \end{cases}\Leftrightarrow \color{red}{\begin{cases}m=2 \\ n=32 \end{cases}}$ (thõa đk)