tính tích phân

Question

tính tích phân

$I=\int\limits_{0}^{1}\frac{x^{3}\times dx}{x+\sqrt{x^{2}+1}}$

score 1 · Answer 1

Biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân:

$\dfrac{x^{3}}{x+\sqrt{x^{2}+1}}=\dfrac{x^{3}(\sqrt{x^{2}+1}-x)}{(\sqrt{x^{2}+1}-x)(\sqrt{x^{2}+1}+x)}$

$=\dfrac{x^{3}\sqrt{x+1}-x^{4}}{1}=x^{3}\sqrt{x^{2}+1}-x^{4}$

$I=\int\limits_{0}^{1}\dfrac{x^{3}}{x+\sqrt{x^{2}+1}}dx=\int\limits_{0}^{1}(x^{3}\sqrt{x^{2}+1}-x^{4})dx$

$=\int\limits_{0}^{1}x^{3}\sqrt{x^{2}+1}dx-\int\limits_{0}^{1}x^{4}dx=I_{1}-I_{2}$

Tính

$I_{1}$ : Đặt

$t=\sqrt{x^{2}+1}\Rightarrow t^{2}=x^{2}+1\Rightarrow x^{2}=t^{2}-1$ và

$tdt=xdx$

$x=0\Rightarrow t=1$

$x=1\Rightarrow t=\sqrt{2}$

$I_{1}=\int\limits_{0}^{1}x^{2}\sqrt{x^{2}+1}xdx=\int\limits_{1}^{\sqrt{2}}(t^{2}-1)t.tdt=\int\limits_{1}^{\sqrt{2}}(t^{4}-t^{2})dt$

$=\left. \left(\dfrac{t^{5}}{5}-\dfrac{t^{3}}{3}\right)\right|_{1}^{\sqrt{2}}=\dfrac{2\sqrt{2}-2}{15}$

Tính

$I_{2}=\int\limits_{0}^{1}x^{4}dx=\left. \dfrac{x^{5}}{5}\right|_{0}^{1}=\dfrac{1}{5}$

Vậy

$I=I_{1}-I_{2}=\dfrac{2\sqrt{2}-2}{15}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{2\sqrt{2}-5}{15}$

1 Đáp án