phương trình đường thẳng lớp 10

Question

Cho 2 điểm A(4;0) va B(0;3)

a. Tìm tập hợp các điểm cách đường thẳng AB một khoảng cách bằng 2

b. Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: x+3y+1=0 sao cho

$\underset{MA}{\rightarrow}$ +

$\underset{MB }{\rightarrow}$ đạt GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

score 0 · Answer 1

a) Đường thẳng

$AB$ có vpcp

$\overrightarrow{AB}=(-4;3)$ nên có vtpt

$\overrightarrow{n}=(3;4)$

Suy ra pt

$AB:\quad 3x+4y-12=0$

Tập hợp các điểm cách

$AB$ một khoảng bằng

$2$ thuộc đường thẳng song song với

$AB$ nên đường thẳng đó có dạng:

$3x+4y+c=0$ . Do khoảng cách bằng

$2$ nên khoảng cách từ

$A$ đến đường thẳng đó bằng

$2$ hay:

$\dfrac{|3.4+4.0+c|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=2\Leftrightarrow \dfrac{|12+c|}{5}=2$

$\Leftrightarrow |12+c|=10\Rightarrow c= -2$ hoặc

$c=-22$

Vậy tập hợp các điểm cách

$AB$ một khoảng bằng

$2$ là hai đường thẳng

$3x+4y-2=0$ và

$3x+4y-22=0$

b) Chú ý: Véc tơ không thể nói nhỏ hơn hay lớn hơn nên không thể có giá trị nhỏ nhất, có lẽ câu hỏi ở đây là độ dài véc tơ. Nếu là độ dài véc tơ nhỏ nhất thì làm như sau:

Ta có:

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$ với

$I$ là trung điểm

$AB$ . Khi đó

$|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|$ nhỏ nhất khi

$\overrightarrow{MI}$ nhỏ nhất. Khi đó

$M$ là chân đường vuông góc kẻ từ

$I$ đến đường thẳng

$d$ .

Ta có

$\begin{cases}x_{I}=\dfrac{4+0}{2}=2 \\ y_{I}=\dfrac{0+3}{2}=\dfrac{3}{2}\end{cases}\Rightarrow I\left( 2;\dfrac{3}{2}\right)$

Đường thẳng qua

$I$ và vuông góc với

$d$ nên có vtpt

$\overrightarrow{n}=(-3;1)$ , do đó có pt:

$-6x+2y+9=0$

Điểm

$M$ có tọa độ là nghiệm của hệ

$\begin{cases}x+3y+1=0 \\ -6x+2y+9=0\end{cases}$

Giải hệ được

$\begin{cases}x=\dfrac{5}{4}\\ y=-\dfrac{3}{4}\end{cases}$ . Vậy

$M\left(\dfrac{5}{4}; -\dfrac{3}{4}\right)$

vì d có vtpt là (1;3) nên vtpt của đường thẳng vuông góc với d sẽ là (-3;1) để tích hai véc tơ này bằng 0
Chỗ "Đường thẳng qua I và vuông góc với d nên có vtpt (-3;1)" là s bạn ?