Giả sử sinx=u và cosx=v.
Như đã biết |sinx−cosx|≤√2<Π2 và |sinx+cosx|≤√2<Π2.
Suy ra |u−v|<Π2 và |u+v|<Π2.
Cho nên −Π2<u−v<Π2 (1) và −Π2<u+v<Π2 (2). .
Từ đó suy ra
cos(sinx)−sin(cosx)=cos(u)−sin(v)
=sin(Π2−u)−sin(v)
=2cos(Π4−u−v2)sin(Π4−u+v2).
Vì (1) nên 0<Π4−u−v2<Π2; suy ra cos(Π4−u−v2)>0.
Vì (2) nên 0<Π4−u+v2<Π2. Suy ra sin(Π4−u+v2)>0.
Do đó 2cos(Π4−u−v2)sin(Π4−u+v2)>0. Suy ra cos(sinx)>sin(cosx)