Bài 6:
Phân tích:
Phương trình (1) là phương trình bậc hai đối với biến x hoặc biến y. Do đó, ta tính thử $\Delta x$ nếu chính phương thì ok! Vấn đề sau khi nháp ta thu được $y=x-1$ và thay vào phương trình (2) ta được:
$\frac{2}{3+\sqrt{x+1}}+\frac{2}{3+\sqrt{4-5x}}=\frac{9}{x+10}$
Nhận xét: $x=0; x=-1$ là hai nghiệm thỏa mãn nên có thể đưa về $(x^2+x)A=0$ bằng cách nhân liên hợp.
Vấn đề ở đây, do dưới phân số nên ta thử đặt ẩn phụ để đưa về hệ xem sao:
$\begin{cases}\sqrt{x+1}=a\geq 0\\ \sqrt{4-5x}=b\geq 0 \\ \frac{2}{3+a}+\frac{2}{3+b}=\frac{9}{9+a^2}\end{cases}\rightarrow \begin{cases}x=a^2-1 \\ b^2+5a^2==9 \\ \frac{2}{3+a}+\frac{2}{3+b}=\frac{9}{a^2+9} \end{cases}$
Như vậy hệ của bài toán được đưa về việc giải hệ:
$\begin{cases}b^2+5a^2=9(1) \\ \frac{2}{3+a}+\frac{2}{3+b}=\frac{9}{a^2+9(2)} \end{cases}$
Ta có :
$(2) \Leftrightarrow \frac{2(a+b+6)}{(a+3)(b+3)}=\frac{9}{a^2+9}$
$\Leftrightarrow 2(a+b+6)(a^2+9)=9(a+3)(b+3)$
Suy nghĩ tự nhiên là ta thử đưa về đối xứng
$a^2+9=a^2+x(b^2+5a^2)+9-9x=(1+5x)a^2+x.b^2+(9-9x)$
Chọn $1+5x=x\Rightarrow x=-1/4$ nên :
$a^2+9=\frac{-1}{4}.(a^2+b^2)+\frac{45}{4}$
Do đó:
$(2) \Leftrightarrow (a+b+c)(45-(a^2+b^2))=18(a+3)(b+3)$
Đặt $a+b=S$ $ab=P$ ta có :
$(S+6)(45-S^2+2P)=18(P+3S+9)$
Rõ ràng P là bậc nhất nên ta có thể viết P theo S :
$2(S-3)P=s^3+6S^2+9S-108$
Rất may là lại có $S-3$ làm nhân tử.
$2(S-3)P=(S-3)(S^2+9S+36)$
Vì $a;b\geq 0$ nên
$2P\leq \frac{S^2}{2}<S^2+9S+36$
Nên ta chỉ cps $P=3$ hay $a+b=3$.
Như vậy theo phân tích này ta có thể giải bài toán theo chính phân tích này hawojc là có thể đưa được thành nhân tử $\sqrt{x+1}+\sqrt{4-5x}-3$. Do đó ta có lời giải :
Lời giải chi tiết:
Điều Kiện $\begin{cases}2x-y\geq 0\\ x\leq \frac{4}{5} \end{cases}$
Biến đổi phương trình (1):
$2x^2+y^2+x=3(xy+1)+2y$
$(x-y-1)(2x-y+3)=0\Leftrightarrow y=x-1$
Với $y=x-1$ thay vào phương trình (2) ta được :
$\frac{2}{3+\sqrt{x+1}}+\frac{2}{3+\sqrt{4-5x}}=\frac{9}{x+10}$
$2(x+10)(6+\sqrt{x+1}+\sqrt{4-5x})=9(9+3\sqrt{x+1}+3\sqrt{4-5x}+\sqrt{x+1}\sqrt{4-5x}$
$(\sqrt{x+1}+\sqrt{4-5x}-3)(9\sqrt{x+1}+9\sqrt{4-5x}-4x-41)=0(*)$
Do $x\in [-1;\frac{4}{5}]$ nên:
$9\sqrt{x+1}+9{4-5x}-4x+41>0$
$(*) \Leftrightarrow \sqrt{x+1}+\sqrt{4-5x}=3$
$2\sqrt{x+1}\sqrt{4-5x}=4+4x\Leftrightarrow \sqrt{x+1}(-2\sqrt{x+1}+\sqrt{4-5x})=0$
$x=-1$ or $x=0$
Với $x=-1 \rightarrow y=-2$
với $x=0 \rightarrow y=-1$
Đối chiếu với điều kiện và thay vào phương trình đầu ta thấy thỏa mãn . vậy hệ trên có các nghiệm $(x,y)=(0,-1);(-1,-2)$