Nhị thức Newton

Question

Với số tự nhiên

$n\geq 2$ , gọi

$a_n$ là hệ số của

$x$ trong khai triển nhị thức

$(5+\sqrt{x})^n$ . Tìm các giá trị của

$n$ để

$A=\frac{5^2}{a_2}+\frac{5^3}{a_3}+\frac{5^4}{a_4}+...+\frac{5^n}{a_n}=48$

Toán Cấp 3 · Answer 1 · 6/19/2016 10:22:49 AM

$(5+\sqrt{x})^n=\sum_{k=1}^{n}C^{k}_{n}.5^{n-k}.x^{\frac{k}{2}}$

Có

$a_n$ là hệ số của

$x$ , vì vậy

$\frac{k}{2}=1\Rightarrow k=2\Rightarrow a_n=C^{2}_{n}.5^{n-2}$

$A=\sum_{j=2}^{n}\frac{5^j}{a_j}=\sum_{j=2}^{n}\frac{5^j}{C^{2}_{j}.5^{j-2}}=\sum_{j=2}^{n}\frac{5^2}{C^{2}_{j}}$

Tính

$C^{2}_{j}=\frac{j!}{(j-2)!.2!}=\frac{j.(j-1)}{2}$

Vậy

$A=\sum_{j=2}^{n}\frac{5^2.2}{j.(j-1)}=50.\sum_{j=2}^{n}\frac{1}{j.(j-1)}=50.B$

Tính

$B=\sum_{j=2}^{n}\frac{1}{j.(j-1)}=\frac{1}{2.1}+\frac{1}{3.2}+\frac{1}{4.3}+...+\frac{1}{(n-1).(n-2)}+\frac{1}{(n-1).n}$

$B=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+...+(\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n-1})+(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})$

$B=1-\frac{1}{n}$

Vậy

$A=50.(1-\frac{1}{n})=48\Rightarrow n=25$

1 Đáp án