$S=1+5+5^2+...+5^n$ là tổng của 1 CSN công bội $5$, nên có tổng là $S=\frac{1(1-5^{n+1})}{1-5}=\frac{5^{n+1}-1}{4}$Tương tự $P=1+4+4^2+...+4^n=\frac{4^{n+1}-1}{3}$
$\Rightarrow \lim VT=\lim \frac{4^n.\frac{5^{n+1}-1}4}{5^n.\frac{4^{n+1}-1}3}=\lim \frac 34.\frac{4^n5^{n+1}-4^n}{4^{n+1}5^n-5^n}=\lim \frac 34.\left( \frac{5-\frac 1{5^n}}{4-\frac 1{4^n}}\right)$
$= \frac 34.\frac{5-\lim \frac 1{5^n}}{4-\lim \frac 1{4^n}} =\frac {15}{16}$