1. Điều kiện để hàm số xác định là sinx≥0 và cosx≥0.Vì 1≥cosx≥cos2x≥0 nên ta có:
sinx=√1−cos2x≥√1−cosx≥1−cosx≥1−√cosx.
Suy ra:
y≥2sinx−2√cosx−13√cosx+1≥2(1−√cosx)−2√cosx−13√cosx+1=−4√cosx+13√cosx+1≥−34.
Đồng thời khi lấy x=0 thì có y=−34.
2. Điều kiện của hệ là x>0 và y>0.
Đặt u=x2 và v=y3 với u,v>0. Khi đó hệ đã cho trở thành
{log2(√u).log3(3√v)=1u+v=31,
hay
{log2u.log3(v)=6v=31−u,
suy ra
log2u.log3(31−u)−6=0,
hay
lnu.ln(31−u)−6ln2.ln3=0 (∗).
Xét hàm số:
f(t)=lnu.ln(31−u)−6ln2.ln3,∀u∈(0;31).
Khi đó ta có:
f′(u)=(31−u)ln(31−u)−ulnuu(31−u),∀u∈(0;31).
Dễ thấy rằng f′ nhận giá trị dương trên (0;1] và nhận giá trị âm trên [30;31). Suy ra phương trình f′(u)=0 chỉ có thể có nghiệm trên (1;30).
Xét hàm số:
g(u)=ulnu,∀u∈(1;30).
Khi đó ta có:
g′(u)=lnu+1>0,∀u∈(1;30).
Do đó g tăng trên (1;30). Suy ra g(31−u)=g(u) có thể có nhiều nhất một nghiệm trên (1;30), hay f′(u)=0 có thể có nhiều nhất một nghiệm trên (1;30). Suy ra f′(u)=0 có thể có nhiều nhất một nghiệm trên (0;31). Điều này chứng tỏ f có nhiều nhất một cực trị trên tập xác định của nó. Suy ra (∗) có nhiều nhất hai nghiệm phân biệt.
Kiểm tra trực tiếp thì thấy u=4 và u=27 là hai nghiệm phân biệt của (∗).
Thành thử (∗) có đúng hai nghiệm trên. Do đó hệ hai ẩn u,v có hai nghiệm là (u;v)=(4;27) và (u;v)=(27;4). Suy ra hệ ban đầu có hai nghiệm là (x;y)=(2;3) và (x;y)=(3√3;3√4).