Tớ có câu nguyên hàm này không giải đc :(

Question

$\int \frac{(x^2+x).e^x}{x+e^{-x}}.\mathrm dx$

score 2 · Answer 1

Thực hiện vài phép biến đổi hàm số dưới dấu tích phân thì được

$\int\limits\frac{(x^2+x)e^x}{x+e^{-x}}dx=\int\limits\frac{x(x+1)e^x}{x+\frac{1}{e^x}}dx=\int\limits\frac{xe^x}{xe^x+1}(x+1)e^xdx$ .

Đặt

$t=xe^x+1$ . Thế thì

$dt=(x+1)e^xdx$ . Từ đó suy ra:

$\int\limits\frac{xe^x}{xe^x+1}(x+1)e^xdx=\int\limits\frac{t-1}{t}dt$

$=\int\limits(1-\frac{1}{t})dt$

$=t-ln|t|+C$

$=xe^x+1-ln|xe^x+1|+C$ .

Thành thử

$\int\limits\frac{(x^2+x)e^x}{x+e^{-x}}dx=xe^x+1-ln|xe^x+1|+C$ .

1 Đáp án