Ta có$:(x+y+z)^2=1^2=1\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=1\Rightarrow xy+yz+zx=0\Rightarrow (x+y+z)(xy+yz+zx)=0(1)$Lại có:
$(x+y+z)^3=1^3=1\Leftrightarrow 3(xy^2+x^2y+yz^2+zy^2+zx^2+xz^2)+6xyz=0$
$\Leftrightarrow6xyz +3[xy(x+y)+yz(y+z)+zx(x+z)]=0$
$\Rightarrow 6xyz+3[xy(1-z)+yz(1-x)+xz(1-y)]=0$
$\Leftrightarrow 6xyz+3(xy+yz+zx-3xyz)=0 $mà $:xy+yz+zx=0\Rightarrow xyz=0(2)$
Từ 1 và 2$:\Rightarrow(x+y+z)(xy+yz+zx)=xyz\Leftrightarrow (x+y)(y+z)(z+x)=0$
$\Rightarrow x+y=0$ hoặc $y+z=0$ hoặc $z+x=0$
Từ đó suy ra tập nghiệm$:x=1;y=0;z=0(x;y;z$ hoán vị)
$\Rightarrow x+y^2+z^2=1+0+0=1$