giúp mình với

Question

Tìm GTNN của P=

$x^{2}-y^{2}-3y$ . Với x,y là hai số thực thỏa mãn:

$x^{3}+12y^{2}+x+2=8y^{3}+8y$

score 3 · Answer 1

Điều kiện đã cho tương đương với

$x^3+x+2=(2y-1)^3+(2y-1)+2$

$(*)$ .

Vì hàm số

$f(t)=t^3+t+2,\forall t\in R$ có

$f'(t)=2t^2+1>0,\forall t\in R$ nên nó đồng biến trên

$R$ . Do đó

$(*)$ tương đương với

$f(x)=f(2y-1)$ , hay

$x=2y-1$ .

Từ kết quả trên suy ra

$P=(2y-1)^2-y^2-3y=3y^2-7y+1=3(y-\frac{7}{6})^2-\frac{37}{12}\geq -\frac{37}{12}$ . Dấu bằng xảy ra khi

$(x;y)$ thỏa mãn

$x=2y-1$ và

$y=\frac{7}{6}$ ; suy ra

$(x;y)=(\frac{4}{3};\frac{7}{6})$ .

Suy ra

$P$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng

$-\frac{37}{12}$ .

1 Đáp án