Giả sử phương trình có nghiệm nguyên, và nghiệm nguyên có giá trị tuyệt đối của x (hoặc y) nhỏ nhất là (x0,y0)(x0,y0≠0)Ta có 1x20+1y20=17⇔7(x20+y20)=x20y20 (1)
Do 7(x20+y20) chia hết cho 7 nên x20y20 chia hết cho 7 nên x0 hoặc y0 chia hết cho 7
Do vai trò của x,y là như nhau nên giả sử x0 chia hết cho 7
Đặt x0=7a(a≠0), thay vào (1) được
7(49a2+y20)=49a2y20⇔49a2+y20=7a2y20 (2)
Do 49a2 và 7a2y20 chia hết cho 7 nên y20 chia hết cho 7 nên y0 chia hết cho 7
Đặt y0=7b(b≠0), thế vào (2) được:
49a2+49b2=7a2.49b2⇔a2+b2=7a2b2⇔1a2+1b2=17
⇒(a,b) cũng là một nghiệm của phương trình, mà lại có |a|<|x|;|b|<|y|⇒ Trái với giả sử
⇒ giả sử sai ⇒ đpcm