Bất đẳng thức lớp 9

Question

Cho

$x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn

$a+b+c=1$ chứng minh:

$\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\geqslant16$

score 1 · Answer 1

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-Copxki dạng phân thức:

$\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\geqslant \frac{4}{c(a+b)}$

Mà:

$4.c.(a+b)\leq (a+b+c)^{2}=1$

Nên

$A=\frac{4}{c.(a+b)}=\frac{16}{4.c.(a+b)}\geqslant\frac{16}{1}=16$

Dấu bằng xảy ra

$\Leftrightarrow c = a + b$ và

$\frac{1}{ac}=\frac{1}{bc}$

$\Leftrightarrow c = a + b =0,5$ và

$ac=bc$

$\Leftrightarrow c = a + b = 0,5$ và

$a=b$

$\Leftrightarrow a = b = 0,25$ và

$c=0,5$

1 Đáp án