$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[3]{4x+4}-2}$$=\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\frac{(x-1)\left[ {\sqrt[3]{(4x+4)^{2}}+2\sqrt[3]{4x+4}+4} \right]}{(4x+4-8)\left[ {\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+1} \right]}$$=\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\frac{1}{4}\frac{\sqrt[3]{(4x+4)^{2}}+2\sqrt[3]{4x+4}+4}{\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+1}$$=\frac{1}{4}\frac{4+4+4}{1+1+1}$$=1$...