Gọi S là diện tích ABC, BC=a, CA=b, AB=cTa có các công thức quen thuộc$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=rp=\frac{abc}{4R},AE=AF=\frac{b+c-a}{2}$Ta có $\frac{S(AEF)}{S}=\frac{S(AEF)}{S(DAB)}\frac{S(DAB)}{S}=AE.AF/bc=\frac{(b+c-a)^2}{4bc}$Tương tự thì$\frac{S(BDF)}{S}=\frac{(a+c-b)^2}{4ac}$$\frac{S(CDE)}{S}=\frac{(a+b-c)^2}{4ab}$ Từ đây ta suy ra $\frac{S(DEF)}{S}=1-\frac{S(AEF)}{S}-\frac{S(DBF)}{S}+\frac{S(DEC)}{S}$$=1-\frac{(b+c-a)^2}{4bc}-\frac{(a+c-b)^2}{4ac}-\frac{(a+b-c)^2}{4ab}$$=\frac{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)/16}{4abc}=\frac{S^2}{(a+b+c)4abc}=\frac{r}{2R}$ (ĐPCM)
Gọi S là diện tích ABC, BC=a, CA=b, AB=cTa có các công thức quen thuộc$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=rp=\frac{abc}{4R},AE=AF=\frac{b+c-a}{2}$Ta có $\frac{S(AEF)}{S}=\frac{S(AEF)}{S(DAB)}\frac{S(DAB)}{S}=AE.AF/bc=\frac{(b+c-a)^2}{4bc}$Tương tự thì$\frac{S(BDF)}{S}=\frac{(a+c-b)^2}{4ac}$$\frac{S(CDE)}{S}=\frac{(a+b-c)^2}{4ab}$ Từ đây ta suy ra $\frac{S(DEF)}{S}=1-\frac{S(AEF)}{S}-\frac{S(DBF)}{S}+\frac{S(DEC)}{S}$$=1-\frac{(b+c-a)^2}{4bc}-\frac{(a+c-b)^2}{4ac}-\frac{(a+b-c)^2}{4ab}$$=\frac{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)/16}{4abc}=\frac{S^2}{\frac{a+b+c}{2}4abc}=\frac{r}{2R}$ (ĐPCM)
Gọi S là diện tích ABC, BC=a, CA=b, AB=cTa có các công thức quen thuộc$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=rp=\frac{abc}{4R},AE=AF=\frac{b+c-a}{2}$Ta có $\frac{S(AEF)}{S}=\frac{S(AEF)}{S(DAB)}\frac{S(DAB)}{S}=AE.AF/bc=\frac{(b+c-a)^2}{4bc}$Tương tự thì$\frac{S(BDF)}{S}=\frac{(a+c-b)^2}{4ac}$$\frac{S(CDE)}{S}=\frac{(a+b-c)^2}{4ab}$ Từ đây ta suy ra $\frac{S(DEF)}{S}=1-\frac{S(AEF)}{S}-\frac{S(DBF)}{S}+\frac{S(DEC)}{S}$$=1-\frac{(b+c-a)^2}{4bc}-\frac{(a+c-b)^2}{4ac}-\frac{(a+b-c)^2}{4ab}$$=\frac{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)/16}{4abc}=\frac{S^2}{
(a+b+c
)4abc}=\frac{r}{2R}$ (ĐPCM)