Bằng quy nạp ta chứng minh được $u_n\geq \left( \frac{3}{2}\right)^{n-1},\forall n\geq 1. (1)$Từ đó suy ra:$x_n\leq \sum_{i=0}^{n-1}{\left( \frac{2}{3}\right)^{i} }<3,\forall n.$Ta được $(x_n)$ là dãy tăng, bị chặn trên nên hội tụ.--Chứng minh $(1)$.Dễ thấy $(1)$ đúng với $n\leq 2$.Giả sử $(1)$ đúng đến $n=k$. Khi đó:$u_{k+1}=u_k+u_{k-1}\geq \left( \frac{3}{2}\right)^{k-1}+\left( \frac{3}{2}\right)^{k-2}=\left( \frac{3}{2}\right)^{k-2}\left( \frac{3}{2}+1\right)=\left( \frac{3}{2}\right)^{k-2}.\frac{5}{2}>\left( \frac{3}{2}\right)^k$.Do đó $(1)$ đúng với $n=k+1$.Theo nguyên lý quy nạp, $(1)$ đúng với mọi $n\geq 1$.
Bằng quy nạp ta chứng minh được $u_n\geq \left( \frac{3}{2}\right)^{n-1},\forall n\geq 1$.Từ đó suy ra:$x_n\leq \sum_{i=0}^{n-1}{\left( \frac{2}{3}\right)^{i} }<3,\forall n.$Ta được $(x_n)$ là dãy tăng, bị chặn trên nên hội tụ.
Bằng quy nạp ta chứng minh được $u_n\geq \left( \frac{3}{2}\right)^{n-1},\forall n\geq 1
. (1)$Từ đó suy ra:$x_n\leq \sum_{i=0}^{n-1}{\left( \frac{2}{3}\right)^{i} }<3,\forall n.$Ta được $(x_n)$ là dãy tăng, bị chặn trên nên hội tụ.
--Chứng minh $(1)$.Dễ thấy $(1)$ đúng với $n\leq 2$.Giả sử $(1)$ đúng đến $n=k$. Khi đó:$u_{k+1}=u_k+u_{k-1}\geq \left( \frac{3}{2}\right)^{k-1}+\left( \frac{3}{2}\right)^{k-2}=\left( \frac{3}{2}\right)^{k-2}\left( \frac{3}{2}+1\right)=\left( \frac{3}{2}\right)^{k-2}.\frac{5}{2}>\left( \frac{3}{2}\right)^k$.Do đó $(1)$ đúng với $n=k+1$.Theo nguyên lý quy nạp, $(1)$ đúng với mọi $n\geq 1$.