Câu bất này khá hay có ĐK abc=1 cũng không cần dùng đến.Ta đi chứng minh BĐT sau là đúng với mọi a,b,c dương:\frac{a^3}{(a+b)^3}+\frac{b^3}{(b+c)^3}+\frac{c^3}{(a+c)^3}+\frac{5abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}\geq 1Đặt x=\frac{a-b}{a+b},y=\frac{b-c}{b+c},z=\frac{c-a}{c+a}\rightarrow x+y+z+xyz=0Có 1+x=\frac{2a}{a+b},1+y=\frac{2b}{b+c},1+z=\frac{2c}{a+c}.Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:(1+x)^3+(1+y)^3+(1+z)^3+5(1+x)(1+y)(1+z)\geq 8Bằng khai triển trực tiếp ta cần phải CM:\frac{1}{2}(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]+3\sum x^2+5\sum xy \geq0x+y+z=-\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(c+b)(a+c}.Không mất tính tổng quát giả sử $x\geq y\geq z.Thế thì x+y+z\geq0Bây giờ cần chỉ ra:3(x^2+y^2+z^2)+5(xy+yz+xz)\geq0Nếu xy+yz+xz\geq0 thì ta có đpcm.Nếu xy+yz+xz\leq 0 thì ta có 3(x+y+z)^2-(xy+yz+xz)\geq 0Vậy bài toán đc CM.Áp dụng ta có:\frac{1}{(1+\frac{b}{a})^3}+\frac{1}{(1+\frac{c}{b})^3}+\frac{1}{(1+\frac{a}{c})^3}+\frac{5}{(1+\frac{b}{a})(1+\frac{b}{c})(1+\frac{a}{c})}\geq 1Do \frac{b}{a}.\frac{c}{b}.\frac{a}{c}=1$ nên bằng 1 phép đặt thích hợp thì ta thu dc bài toán ban đầu.
Câu bất này khá hay có ĐK
abc=1 cũng không cần dùng đến.Ta đi chứng minh BĐT sau là đúng với mọi a,b,c dương:
\frac{a^3}{(a+b)^3}+\frac{b^3}{(b+c)^3}+\frac{c^3}{(a+c)^3}+\frac{5abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}\geq 1Đặt
x=\frac{a-b}{a+b},y=\frac{b-c}{b+c},z=\frac{c-a}{c+a}\rightarrow x+y+z+xyz=0Có
1+x=\frac{2a}{a+b},1+y=\frac{2b}{b+c},1+z=\frac{2c}{a+c}.Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
(1+x)^3+(1+y)^3+(1+z)^3+5(1+x)(1+y)(1+z)\geq 8Bằng khai triển trực tiếp ta cần phải CM:
\frac{1}{2}(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]+3\sum x^2+5\sum xy \geq0x+y+z=-\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(c+b)(a+c}.Không mất tính tổng quát giả sử $
a\geq
b\geq
c.Thế thì x+y+z\geq0
Bây giờ cần chỉ ra:3(x^2+y^2+z^2)+5(xy+yz+xz)\geq0
Nếu xy+yz+xz\geq0
thì ta có đpcm.Nếu xy+yz+xz\leq 0
thì ta có 3(x+y+z)^2-(xy+yz+xz)\geq 0
Vậy bài toán đc CM.Áp dụng ta có:\frac{1}{(1+\frac{b}{a})^3}+\frac{1}{(1+\frac{c}{b})^3}+\frac{1}{(1+\frac{a}{c})^3}+\frac{5}{(1+\frac{b}{a})(1+\frac{b}{c})(1+\frac{a}{c})}\geq 1
Do \frac{b}{a}.\frac{c}{b}.\frac{a}{c}=1$ nên bằng 1 phép đặt thích hợp thì ta thu dc bài toán ban đầu.