$\begin{cases}x^3-3xy^2-x-1=y^2+2xy-x^2 (1)\\ y^3-3yx^2+y+1=x^2+2xy-y^2 (2)\end{cases}$ $(\bigstar)$$\Leftrightarrow \begin{cases}x(x^2-y^2)-2xy(y+1)-(x+1)+x^2-y^2=0 \\ y(y^2-x^2)-2xy(x+1)+y+1+y^2-x^2=0 \end{cases}$$\Leftrightarrow \begin{cases}(x^2-y^2)(x+1)-(x+1)-2xy(y+1)=0 \\ (y^2-x^2)(y+1)+(y+1)-2xy(x+1)=0 \end{cases}$$\Leftrightarrow \begin{cases}(x+1)(x^2-y^2-1)-2xy(y+1)=0 (3)\\ (y+1)(x^2-y^2-1)+2xy(x+1)=0(4) \end{cases}$ $(\star)$Lấy $(3)+(4)$ và $(3)-(4)$ thì được:$\begin{cases}(x^2-y^2-1)(x+y+2)=-2xy(x-y) \\ (x^2-y^2-1)(x-y)=2xy(x+y+2) \end{cases}$Nhân chéo 2 vế của hệ ta được:$2xy(x+y+2)^2(x^2-y^2-1)+2xy(x-y)^2(x^2-y^2-1)=0$$\Leftrightarrow xy(x-y)(x+y+2)(x^2-y^2-1)(x+1)=0$
$\begin{cases}x^3-3xy^2-x-1=y^2+2xy-x^2 (1)\\ y^3-3yx^2+y+1=x^2+2xy-y^2 (2)\end{cases}$ (Vua)$\Leftrightarrow ^{\oplus }_{\ominus }\begin{cases}x^3+y^3-3xy(x+y)-4xy=0 \\ x^3-y^3+3xy(x-y)+2(x^2-y^2)=0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases}(x+y)[(x+y)^2-3xy)]-3xy(x+y)-4xy=0 \\ (x-y)[(x+y)^2-xy]+3xy(x-y)+2(x-y)(x+y)=0 \end{cases}$ $(\bigstar)$Đặt $\begin{cases}a=x+y,a^2\geq 4xy(*)\\ b=x-y \end{cases}\Rightarrow b^2-a^2=4xy$Hệ $(\bigstar)$ trở thành: $\begin{cases}5a^3-3b^2a=2(a^2+b^2) \\ b(b^2+a^2)+4ab=0 \end{cases}$ $(\bigstar\bigstar)$$\Rightarrow ab(\frac{5a^2-3b^2}{2}+4)=0$$\Leftrightarrow a=0\vee b=0\vee \frac{5a^2-3b^2}{2}+4=0(3)$Ta có: $\frac{5a^3-3b^2a}{2}=a^2+b^2\geq 2|ab|\Rightarrow 5a^2-3b^2\geq 4|b|\Rightarrow 5a^2-3b^2-4|b|\geq 0$$(3)\Leftrightarrow 5a^2-3b^2-4|b|+8+4|b|>0$$\Rightarrow (3)$ Ko có nghiệm thỏa hệ $(\bigstar\bigstar)\Leftrightarrow (3)$ Ko thỏa $(\bigstar)$Thế $a=0$ vào hệ (vua) thì ko có giá trị $x,y$ thỏa mãn nhưng mặt khác: $(*)\Rightarrow xy\leq 0$Để hệ (vua) có nghiệm $\Leftrightarrow x=0$(vô nghiệm) và $y=0$ thì $x=\pm 1$Thế $b=0$ vào thu được $x=y=-1$
$\begin{cases}x^3-3xy^2-x-1=y^2+2xy-x^2 (1)\\ y^3-3yx^2+y+1=x^2+2xy-y^2 (2)\end{cases}$
$(
\bigsta
r)
$$\Leftrightarrow \begin{cases}x
(x^
2-y^
2)-
2xy(
y+
1)-
(x
+1)+x^2-y
^2=0 \\
y(y^2-x^
2)-
2xy(x
+1)+
y+1+y^2-
x^2=0 \end{cases}$$\Leftrightarrow \begin{cases}(x
^2-y
^2)(x+
1)-
(x
+1)-
2xy(y
+1)=0 \\ (y^2-x
^2)(y
+1)+(y
+1)
-2xy(x+
1)=0 \end{cases}$$\
Leftrig
htar
row \begin{cases}
(x+
1)(x^2-y^2
-1)-2xy(
y+1)=0 (3)\\
(y+1)(x
^2-y
^2-1)+2xy(x+1)=0(4) \end{cases}$ $(\star)$
Lấy $(3)+(4)$ và $(3)-(4)$ th
ì được:$\begin{cases}
(x^
2-
y^2
-1)(
x+y+2)
=-2xy(x-y) \\ (
x^2
-y^2
-1)
(x-y)=
2xy(x+y+2) \end{cases}$
Nh
ân ch
éo
2 v
ế c
ủa
hệ ta
được:$2
xy(x+y+2
)^2
(x^2-
y^2
-1)+2
xy(x-
y)^2(
x^2-
y^2-
1)
=0$$\Leftrightarrow
xy(
x-y)(x
+y
+2)(x
^2-y
^2-1)(x
+1
)=0$