Đặt $x+y+z=p,xy+yz+zx=q,xyz=r$$x^3+y^3+z^3 +xyz \ge 4\Leftrightarrow p^3-3pq+3r+r \ge4 \Leftrightarrow 9q-4r \le 23(1)$ (do $p=3$)Theo bđt schur, ta có $r \ge max\{0,\frac{p(4q-p^2)}9 \} =max\{0,\frac{4q-9}3\}$* Với $q < \frac{9}{4}$ hay $4q-9 <0\Rightarrow r \ge0$$VT(1)=9q-4r \le9q<\frac{81}4 <23$* Với $q \ge \frac 94$ hay $4q-9 \ge0\Rightarrow r \ge\frac{4q-9}3$$VT(1)=9q-4r \le9q-\frac{4(4q-9)}3=\frac{11}3q+12 \le \frac{11}3.\frac{p^2}3+12=23$$\Rightarrow(1)$ luôn đúng$\Rightarrow$ bđt ban đầu đúng, dấu $"="\Leftrightarrow x=y=1$. Phép c/m hoàn tất
Đặt $x+y+z=p,xy+yz+zx=q,xyz=r$$x^3+y^3+z^3 +xyz \ge 4\Leftrightarrow p^3-3pq+3r+r \ge4 \Leftrightarrow 9q-4r \le 23(1)$ (do $p=3$)Theo bđt schur, ta có $r \ge max\{0,\frac{p(4q-p^2)}9 \} =max\{0,\frac{4q-9}3\}$* Với $q < \frac{9}{4}$ hay $4q-9 <0\Rightarrow r \ge0$$VT(1)=9q-4r \le9q<\frac{81}4 <23$* Với $q > \frac 94$ hay $4q-9 >0\Rightarrow r \ge\frac{4q-9}3$$VT(1)=9q-4r \le9q-\frac{4(4q-9)}3=\frac{11}3q+12 \le \frac{11}3.\frac{p^2}3+12=23$$\Rightarrow(1)$ luôn đúng$\Rightarrow$ bđt ban đầu đúng, dấu $"="\Leftrightarrow x=y=1$. Phép c/m hoàn tất
Đặt $x+y+z=p,xy+yz+zx=q,xyz=r$$x^3+y^3+z^3 +xyz \ge 4\Leftrightarrow p^3-3pq+3r+r \ge4 \Leftrightarrow 9q-4r \le 23(1)$ (do $p=3$)Theo bđt schur, ta có $r \ge max\{0,\frac{p(4q-p^2)}9 \} =max\{0,\frac{4q-9}3\}$* Với $q < \frac{9}{4}$ hay $4q-9 <0\Rightarrow r \ge0$$VT(1)=9q-4r \le9q<\frac{81}4 <23$* Với $q
\g
e \frac 94$ hay $4q-9
\g
e0\Rightarrow r \ge\frac{4q-9}3$$VT(1)=9q-4r \le9q-\frac{4(4q-9)}3=\frac{11}3q+12 \le \frac{11}3.\frac{p^2}3+12=23$$\Rightarrow(1)$ luôn đúng$\Rightarrow$ bđt ban đầu đúng, dấu $"="\Leftrightarrow x=y=1$. Phép c/m hoàn tất