Quay lại đáp án

Áp dụng bđt $Cauchy-Schwarz$$VT=\frac{|x|^2}{2008|x|+|x|^2}+\frac{|y|^2}{2008|y|+|y|^2} \ge \frac{(|x|+|y|)^2}{2008(|x|+|y|)+(|x|^2+|y|^2)}$$=\frac{(|x|+|y|)^2}{2008(|x|+|y|)+(|x|+|y|)^2-2|xy|}\ge \frac{(|x|+|y|)^2}{2008(|x|+|y|)+(|x|+|y|)^2}$ (do $|xy| \ge0$)$=\frac{|x|+|y|}{2008+(|x|+|y|)}$Ta sẽ chứng minh bđt $\frac{|x|+|y|}{2008+(|x|+|y|)} \ge \frac{|x-y|}{2008+|x-y|}(*)$ đúng, từ đó suy ra đpcm$(*) \Leftrightarrow(|x|+|y|).(2008+|x-y|) \ge (2008+|x|+|y|)|x-y|$$\Leftrightarrow 2008(|x|+|y|)+(|x|+|y|)|x-y| \ge 2008|x-y|+(|x|+|y|)|x-y|$$\Leftrightarrow |x|+|y| \ge |x-y| \Leftrightarrow x^2+y^2+2|xy| \ge x^2-2xy+y^2$$\Leftrightarrow |xy| \ge -xy $( luôn đúng)Dấu $"="$ xảy ra khi $x=y=0$

Xét $x=0,y=0$, ta có $VT=VP$Xét $x \ne0, y\ne0$Áp dụng bđt $Cauchy-Schwarz$$VT=\frac{|x|^2}{2008|x|+|x|^2}+\frac{|y|^2}{2008|y|+|y|^2} \ge \frac{(|x|+|y|)^2}{2008(|x|+|y|)+(|x|^2+|y|^2)}$$=\frac{(|x|+|y|)^2}{2008(|x|+|y|)+(|x|+|y|)^2-2|xy|}> \frac{(|x|+|y|)^2}{2008(|x|+|y|)+(|x|+|y|)^2}$ (do $|xy| >0$)$=\frac{|x|+|y|}{2008+(|x|+|y|)}$Ta sẽ chứng minh bđt $\frac{|x|+|y|}{2008+(|x|+|y|)} > \frac{|x-y|}{2008+|x-y|}(*)$ đúng, từ đó suy ra $VT>VP$$(*) \Leftrightarrow(|x|+|y|).(2008+|x-y|) > (2008+|x|+|y|)|x-y|$$\Leftrightarrow 2008(|x|+|y|)+(|x|+|y|)|x-y| > 2008|x-y|+(|x|+|y|)|x-y|$$\Leftrightarrow |x|+|y| \ge |x-y| \Leftrightarrow x^2+y^2+2|xy| > x^2-2xy+y^2$$\Leftrightarrow |xy| > -xy $(đúng $\forall x \ne0, y\ne0$)$\Rightarrow VT \ge VP$ (đpcm)