Ta chỉ cần chứng minh $\frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca} \ge \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1$$\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}-3 \ge \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}-2$$\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2(ab+bc+ca)} \ge \frac{(c-a)^2}{(a+b)(b+c)}$$\Leftrightarrow \frac{(c-a)^2-(a-b)(b-c)}{ab+bc+ca} \ge \frac{(c-a)^2}{(a+b)(b+c)}$$\Leftrightarrow (b^2-ac)^2 \ge0$ (luôn đúng)$\Rightarrow$ đpcm , dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$
Ta có biến đổi: $VT=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{bc}+\frac{c^2}{ca}\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}$ ( Bunhia.. phân thức)$\rightarrow $Ta chỉ cần chứng minh $\frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca} \ge \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1$$\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}-3 \ge \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}-2$$\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2(ab+bc+ca)} \ge \frac{(c-a)^2}{(a+b)(b+c)}$$\Leftrightarrow \frac{(c-a)^2-(a-b)(b-c)}{ab+bc+ca} \ge \frac{(c-a)^2}{(a+b)(b+c)}$$\Leftrightarrow (b^2-ac)^2 \ge0$ (luôn đúng)$\Rightarrow$ đpcm , dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$