Dùng bdt holder ta có $P^2.\frac{407}{144}=(2a^3+3b^3+4c^3)(2a^3+3b^3+4c^3)(\frac 14+\frac 89+\frac{27}{16}) \ge (a^2+2b^2+3c^2)^3=1$$\Leftrightarrow P \ge \frac{12}{\sqrt{407}}$Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=\frac{6}{\sqrt{407}},b=\frac{8}{\sqrt{407}},c=\frac{9}{\sqrt{407}}$
Cách 1Dùng bdt holder ta có $P^2.6=(a^3+2b^3+3c^3)(a^3+2b^3+3c^3)(1+2+3) \ge (a^2+2b^2+3c^2)^3=1$$\Leftrightarrow P \ge \sqrt{\frac 16}$Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{\frac 16}$Cách 2Dùng bdt AM-GM$\left.\begin{matrix} a^3+a^3+\dfrac 1{\sqrt{6^3}} \ge \dfrac{3}{\sqrt 6}a^2 \\ 2b^3+2b^3+\dfrac{2}{\sqrt{6^3}} \ge \dfrac{6}{\sqrt 6}b^2 \\ 3c^3+3c^3+ \dfrac{3}{\sqrt{6^3}} \ge \dfrac{9}{\sqrt 6}c^2\end{matrix}\right\}\Rightarrow \text{kết quả tương tự}$
Dùng bdt holder ta có $P^2.
\frac{407}{144}=(
2a^3+
3b^3+
4c^3)(
2a^3+
3b^3+
4c^3)(
\frac 1
4+
\frac 89+
\frac{27}{16}) \ge (a^2+2b^2+3c^2)^3=1$$\Leftrightarrow P \ge \frac
{1
2}{\sqrt{407}}$Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=\frac
{6}{\sqrt{
407}}
,b
=\frac{
8}{\sqrt{
407}}
,c
=\frac{9}{\sqrt{
407}}$