bdt\Leftrightarrow \frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}-\frac{4}{a^3+b^3}\ge \frac{16}{(a+b)^3}-\frac{4}{a^3+b^3}+\frac{4k}{(a+b)^3}-\frac{k}{a^3+b^3}\Leftrightarrow \frac{(a^3+b^3)^2-4a^3b^3}{(a^3+b^3)a^3b^3} \ge (k+4)\left(\frac{4(a^3+b^3)-(a+b)^3}{(a+b)^3(a^3+b^3)} \right)\Leftrightarrow \frac{(a^3-b)^3}{a^3b^3} \ge(k+4)\left(\frac{3(a+b)(a-b)^2}{(a+b)^3} \right)\Leftrightarrow (a-b)^2\left[ \frac{(a^2+ab+b^2)^2}{a^3b^3} -\frac{3(k+4)}{(a+b)^2}\right] \ge0$\Leftrightarrow \frac{(a^2+ab+b^2)^2(a+b)^2}{a^3+b^3} \ge 3(k+4)(*)Đk cần : cho a=b thì VT=36\Leftrightarrow k\le8Đk đủ, ta sẽ cm k=8 là hằng số tốt nhấtThật vậy (*)\Leftrightarrow [(a^2+ab+b^2)(a+b)]^2 \ge 36a^3b^3(**)Giả sử a\ge b .Đặt a=xb(x \ge 1)(**)\Leftrightarrow (x^2+x+1)(x+1) \ge 6\Leftrightarrow (x-1)(x^2+3x+5) \ge0 (luôn đúng)Vậy k=8$là giá trị cần tìm
bdt\Leftrightarrow \frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}-\frac{4}{a^3+b^3}\ge \frac{16}{(a+b)^3}-\frac{4}{a^3+b^3}+\frac{4k}{(a+b)^3}-\frac{k}{a^3+b^3}\Leftrightarrow \frac{(a^3+b^3)^2-4a^3b^3}{(a^3+b^3)a^3b^3} \ge (k+4)\left(\frac{4(a^3+b^3)-(a+b)^3}{(a+b)^3(a^3+b^3)} \right)\Leftrightarrow \frac{(a^3-b)^3}{a^3b^3} \ge(k+4)\left(\frac{3(a+b)(a-b)^2}{(a+b)^3} \right)\Leftrightarrow (a-b)^2\left[ \frac{(a^2+ab+b^2)^2}{a^3b^3} -\frac{3(k+4)}{(a+b)^2}\right] \ge0\Leftrightarrow \frac{(a^2+ab+b^2)^2(a+b)^2}{a^3b^3} \ge 3(k+4)(*)Đk cần : cho
a=b thì
VT=36\Leftrightarrow k\le8Đk đủ, ta sẽ cm
k=8 là hằng số tốt nhấtThật vậy (*)
\Leftrightarrow [(a^2+ab+b^2)(a+b)]^2 \ge 36a^3b^3(**)Giả sử
a\ge b .Đặt
a=xb(x \ge 1)(**)$\Leftrightarrow (
(x^2+x+1)(x+1)
)^2 \ge
36
x^3\Leftrightarrow (x-1)
^2(x^
4+6x^3+19x^2+
6x+
1) \ge0
(luôn đúng)Vậy k=8$là giá trị cần tìm