$bdt\Leftrightarrow \sum \frac{a}{b+c}-\frac 32 \le \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}-1\\ \Leftrightarrow \sum \frac{(a-b)^2}{2(a+c)(b+c)} \le \frac{\sum(a-b)^2}{2(ab+bc+ca)} \\\Leftrightarrow \sum(a-b)^2 \Big[\frac{1}{ab+bc+ca}-\frac{1}{ab+bc+ca+c^2} \Big] \ge 0 \; \mathbf{(luôn \; đúng)}$
$\mathbb{bdt\Leftrightarrow \sum \frac{a}{b+c}-\frac 32 \le \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}-1\\ \Leftrightarrow \sum \frac{(a-b)^2}{2(a+c)(b+c)} \le \frac{\sum(a-b)^2}{2(ab+bc+ca)} \\\Leftrightarrow \sum(a-b)^2 \Big[\frac{1}{ab+bc+ca}-\frac{1}{ab+bc+ca+c^2} \Big] \ge 0 (luon\;dung) }$
$bdt\Leftrightarrow \sum \frac{a}{b+c}-\frac 32 \le \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}-1\\ \Leftrightarrow \sum \frac{(a-b)^2}{2(a+c)(b+c)} \le \frac{\sum(a-b)^2}{2(ab+bc+ca)} \\\Leftrightarrow \sum(a-b)^2 \Big[\frac{1}{ab+bc+ca}-\frac{1}{ab+bc+ca+c^2} \Big] \ge 0
\; \mathbf{(lu
ôn
\;
đu
́ng)}$