Ta có $a^2+1 \ge 2a \qquad b^2+1 \ge 2b \qquad c^2+1 \ge 2c$$\Rightarrow a^2+b^2+c^2 \ge3$ Giả sử cả 3 pt đều vô nghiệmKhi đó $a^2-4b<0 \qquad b^2-4c<0 \qquad c^2-4a <0$$\Rightarrow a^2+b^2+c^2 < 12$ (luôn sai)Vậy điều giả sử là sai và ta luôn có ít nhất 1 pt có nghiệm
Ta có $a^2+1
6 \ge
8a \qquad b^2+1
6 \ge
8b \qquad c^2+1
6 \ge
8c$$\Rightarrow a^2+b^2+c^2 \ge
48$ Giả sử cả 3 pt đều vô nghiệmKhi đó $a^2-4b<0 \qquad b^2-4c<0 \qquad c^2-4a <0$$\Rightarrow a^2+b^2+c^2 <
48$ (luôn sai)Vậy điều giả sử là sai và ta luôn có ít nhất 1 pt có nghiệm