ta có$\sqrt{x^{3}+1} \leq \frac{x^{2}+2}{2}$ $\sqrt{\frac{a^{3}}{a^{3}+(b+c)^{3}}} =\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{b+c}{a})^{3}}}\geq \frac{2}{(\frac{b+c}{a})^{2}+2}$$=\frac{2a^{2}}{(b+c)^{2}+2a^{2}}\geq \frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$TT $\Rightarrow đpcm$Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c$
Ta thấy 3 số $a;b;c$ k thể đồng thời bằng 0TH1 có ít nhất 1 số bằng 0, giả sử là c$\Rightarrow VT=\sqrt\frac{a^3}{a^3+b^3}+\sqrt\frac{b^3}{a^3+b^3}$Vì $\sqrt\frac{a^3}{a^3+b^3}\le1\Rightarrow \sqrt\frac{a^3}{a^3+b^3}\ge\frac{a^3}{a^3+b^3}$Tương tự cộng lại $\Rightarrow VT\ge1$Dấu bằng xảy ra khi 2 số bằng 0, 1 số >0TH2: $a;b;c>0$ta có$\sqrt{x^{3}+1} \leq \frac{x^{2}+2}{2}$ $\sqrt{\frac{a^{3}}{a^{3}+(b+c)^{3}}} =\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{b+c}{a})^{3}}}\geq \frac{2}{(\frac{b+c}{a})^{2}+2}$$=\frac{2a^{2}}{(b+c)^{2}+2a^{2}}\geq \frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$TT $\Rightarrow đpcm$Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c$