Quay lại đáp án

Không mất tính tổng quát giả sử $a_1 \ge a_2 \ge a_3 \ge ...\ge a_n$Xét 2 trường hợp Nếu $a_2 \ge 1$ thì ta có $(a_2 -1)(a_2-2) \le0 \Leftrightarrow a_2^2 +2 \le 3a_2$Tương tự ta cũng có $a_1^2+2 \le 3a_1$Lại có $\sum_{k=3}^na_k=3-a_1-a_2 \le 3-1-1=1$Suy ra $0 \le a_n \le a_{n-1} \le ... \le a_4 \le a_3 \le 1$Suy ra $\sum_{k=3}^na_n^2 \le \sum_{k=3}^na_n$Suy ra$\sum_{k=1}^na_n^2+4 \le \sum_{k=1}^na_n+2(a_1+a_2) \le 3+2.3=9$Suy ra dpcmNếu$a_2 \le 1$thì tương tự ta cũng có$\sum_{k=2}^na_n^2 \le \sum_{k=2}^na_n $Mà$a_1(a_1-2) \le 0\Leftrightarrow a_1^2 \le 2a_1$Kết hợp 2 điều trên ta có$\sum_{k=1}^na_n^2 \le \sum_{k=1}^na_n+a_1 \le 3+2=5 $(dpcm)Phép chứng minh hoàn tất, đẳng thức xảy ra khi 1 số bằng 2, 1 số bằng 1, tất cả các số còn lại (nếu có) bằng không.

Không mất tính tổng quát giả sử $a_1 \ge a_2 \ge a_3 \ge ...\ge a_n$Xét 2 trường hợp Nếu $a_2 \ge 1$ thì ta có $(a_2 -1)(a_2-2) \le0 \Leftrightarrow a_2^2 +2 \le 3a_2$Tương tự ta cũng có $a_1^2+2 \le 3a_1$Lại có $\sum_{k=3}^na_k=3-a_1-a_2 \le 3-1-1=1$Suy ra $0 \le a_n \le a_{n-1} \le ... \le a_4 \le a_3 \le 1$Suy ra $\sum_{k=3}^na_k^2 \le \sum_{k=3}^na_k$Suy ra$\sum_{k=1}^na_k^2+4 \le \sum_{k=1}^na_k+2(a_1+a_2) \le 3+2.3=9$Suy ra dpcmNếu$a_2 \le 1$thì tương tự ta cũng có$\sum_{k=2}^na_k^2 \le \sum_{k=2}^ka_k $Mà$a_1(a_1-2) \le 0\Leftrightarrow a_1^2 \le 2a_1$Kết hợp 2 điều trên ta có$\sum_{k=1}^na_k^2 \le \sum_{k=1}^na_k+a_1 \le 3+2=5 $(dpcm)Phép chứng minh hoàn tất, đẳng thức xảy ra khi 1 số bằng 2, 1 số bằng 1, tất cả các số còn lại (nếu có) bằng không.