Do $a,b,c,d>0$ và $a^2+b^2+c^2+d^2=1$ nên $\Rightarrow (a,b,c,d) \epsilon [0;1]$Ta có: $(1-a)^2\geq 0\Rightarrow a^2+1\geq 2a\Rightarrow 1-a \geq a-a^2$$\Rightarrow 1-a \geq a.(1-a)$Tương tự ta có: $1-b\geq b(1-b)$ $..................$Nhân lại theo vế ta có : $(1-a)(1-b)(1-c)(1-d) \geq abcd.(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)$Ta cần chứng minh $(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)\geq (1-a)^2(1-b)^2(1-c)^2(1-d)^2$Do $a\epsilon [0;1]$ nên $(1-a)\epsilon [0;1]$ Do đó $(1-a) \geq (1-a)^2$Chứng minh tương tự cho các phân thức còn lại rồi nhân theo vế ta có đpcm.Vậy bất đẳng thức được chứng minh.Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=d=\frac{1}{2}$
Do $a,b,c,d>0$ và $a^2+b^2+c^2+d^2=1$ nên $\Rightarrow (a,b,c,d) \epsilon [0;1]$Ta có: $(1-a)^2\geq 0\Rightarrow a^2+1\geq 2a\Rightarrow 1-a \geq a-a^2$$\Rightarrow 1-a \geq a.(1-a)$Tương tự ta có: $1-b\geq b(1-b)$ $..................$Nhân lại theo vế ta có : $(1-a)(1-b)(1-c)(1-d) \geq abcd.(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)$Ta cần chứng minh $(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)\geq (1-a)^2(1-b)^2(1-c)^2(1-d)^2$Do $a\epsilon [0;1]$ nên $(1-a)\epsilon [0;1]$ Do đó $(1-a) \geq (1-a)^2$Chứng minh tương tự cho các phân thức còn lại rồi nhân theo vế ta có đpcm.Vậy bất đẳng thức được chứng minh.Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=d\frac{1}{2}$
Do $a,b,c,d>0$ và $a^2+b^2+c^2+d^2=1$ nên $\Rightarrow (a,b,c,d) \epsilon [0;1]$Ta có: $(1-a)^2\geq 0\Rightarrow a^2+1\geq 2a\Rightarrow 1-a \geq a-a^2$$\Rightarrow 1-a \geq a.(1-a)$Tương tự ta có: $1-b\geq b(1-b)$ $..................$Nhân lại theo vế ta có : $(1-a)(1-b)(1-c)(1-d) \geq abcd.(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)$Ta cần chứng minh $(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)\geq (1-a)^2(1-b)^2(1-c)^2(1-d)^2$Do $a\epsilon [0;1]$ nên $(1-a)\epsilon [0;1]$ Do đó $(1-a) \geq (1-a)^2$Chứng minh tương tự cho các phân thức còn lại rồi nhân theo vế ta có đpcm.Vậy bất đẳng thức được chứng minh.Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=d
=\frac{1}{2}$