Quay lại đáp án

Xét $n$ là số tự nhiên và $n \geq 3$.Từ công thức khai triển nhị thức Newton suy ra: $(1+x)^n=C^{0}_{n}+C^{1}_{n}x+C^{2}_{n}x^2+...+C^{n}_{n}x^n, \forall x\in R.$.Lấy đạo hàm theo biến$x$cả hai vế thì được:$n(1+x)^{n-1}=C^{1}_{n}+2C^{2}_{n}x+3C^{3}_{n}x^2...+nC^{n}_{n}x^{n-1}, \forall x\in R$.Cho$x=1$thì được:$n2^{n-1}=C^{1}_{n}+2C^{2}_{n}1+3C^{3}_{n}...+nC^{n}_{n}$.Suy ra:$\frac{C^{1}_{n}+2C^{2}_{n}1+3C^{3}_{n}...+nC^{n}_{n}}{n}=2^{n-1}$(1).Mời bạn đọc tự chứng minh điều sau (bằng quy nạp):$2^{n-1}<n!$(2).Từ (1) và (2) suy ra:$\frac{C^{1}_{n}+2C^{2}_{n}1+3C^{3}_{n}...+nC^{n}_{n}}{n}<n!$

Xét $n$ là số tự nhiên và $n \geq 3$.Từ công thức khai triển nhị thức Newton suy ra: $(1+x)^n=C^{0}_{n}+C^{1}_{n}x+C^{2}_{n}x^2+...+C^{n}_{n}x^n, \forall x\in R "$.Lấy đạo hàm theo biến $x$ cả hai vế thì được: $n(1+x)^{n-1}=C^{1}_{n}+2C^{2}_{n}x+3C^{3}_{n}x^2...+nC^{n}_{n}x^{n-1}, \forall x\in R$.Cho $x=1$ thì được: $n2^{n-1}=C^{1}_{n}+2C^{2}_{n}1+3C^{3}_{n}...+nC^{n}_{n}$.Suy ra: $\frac{C^{1}_{n}+2C^{2}_{n}1+3C^{3}_{n}...+nC^{n}_{n}}{n}=2^{n-1}$ (1).Mời bạn đọc tự chứng minh điều sau (bằng quy nạp): $2^{n-1}<n!$ " (2).Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{C^{1}_{n}+2C^{2}_{n}1+3C^{3}_{n}...+nC^{n}_{n}}{n}<n!$.