$(\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2})^3=(-\sqrt[3]{x+3})^3$$\Leftrightarrow 2x+3+3\sqrt[3]{(x+1)(x+2)}(\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2})=-x-3$$\Leftrightarrow3x+6=3\sqrt[3]{(x+1)(x+2)(x+3)}$$\Leftrightarrow (3x+6)^3-27(x+1)(x+2)(x+3)=0\Leftrightarrow 27(x+2)=0$
$(\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2})^3=(-\sqrt[3]{x+3})^3$$\Leftrightarrow 2x+3+3\sqrt[3]{(x+1)(x+2)}(\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2})=-x-3$$\Leftrightarrow3x+6=3\sqrt[3]{(x+1)(x+2)(x+3)}$$\Leftrightarrow (3x+1)^3-27(x+1)(x+2)(x+3)=0\Leftrightarrow 27(x+2)=0$
$(\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2})^3=(-\sqrt[3]{x+3})^3$$\Leftrightarrow 2x+3+3\sqrt[3]{(x+1)(x+2)}(\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2})=-x-3$$\Leftrightarrow3x+6=3\sqrt[3]{(x+1)(x+2)(x+3)}$$\Leftrightarrow (3x+
6)^3-27(x+1)(x+2)(x+3)=0\Leftrightarrow 27(x+2)=0$